Elektrospin

Rješavanje sistema linearnih jednačina

Jedan od najvažnijih problema u tehničkim proračunima je rješavanje sistema linearnih jednačina. Opšti oblik sistema linearnih jednačina je:

Navedeni sistem napisan u matričnom obliku je A*X = B, pri čemu je:

Ako su elementi matrice B jednaki nuli, sistem se zove homogeni sistem linearnih jednačina, u suprotnom, kada je bar jedan element matrice B različit od nule, sistem je nehomogen.

U matričnom obliku, problem rješavanja sistema linearnih jednačina može se formulisati na sljedeći načina: Neka su date matrica A i B, potrebno je pronaći jedinstvenu matricu X, takva da je AX=B ili XA=B.

U matlabu, matricu X možemo odrediti koristeći inverznu matricu matrice A i izraz X = A^-1*B tj. ako izraz A*X=B pomnožimo sa desne strane matricom A^-1, dobićemo A^-1*A*X= A^-1*B.

Ako se uzme u obzir da je A^-1*A=I jedinična matrica, tada ostaje izraz X = A^-1*B.

Primjer: Potrebno je riješiti sljedeći sistem linearnih jednačina

Matrice A, B i X formiramo na sljedeći način:

Sada se matrice A i B unesu u matlab i riješi se sistem linearnih jednačina:

Kao što se može zaključiti, rješenje je x₁=1, x₂=2 i x₃=3.

U tenhičkim proračunima, rješavanje sistema linearnih jednačina velikih dimenzija na ovaj način može trajati vremenski i računski veoma dugo. Drugo jednostavnije rješenje, za rješavanje velikih sistema linearnih jednačina je korištenjem lijevog i desnog matričnog dijeljenja.

Za određivanje jedinstvene matrice X, koriste se operatori lijevog i desnog dijeljenja \ i / , na sljedeći način:

X = A\B za rješavanje sistema oblika AX=B

X = B\A za rješavanje sistema oblika XA = B

Potrebno je naglasiti da u ovom slučaju matrice A i B imaju isti broj vrsta. Matrica X ima isti broj kolona kao matrica B, a broj vrsta jednak je broju kolona matrica A. Za izraz X = B/A pravila za vrste i kolone se zamjene.

U praksi se najviše javlja oblik AX=B.

Primjer rješenja gornjeg primjera, koristeći desno dijeljenje:

Ako imamo homogeni sistem linearnih jednačina, tada za određivanje rješenja koristi se interna matlab funkcija null.

Neka je dat homogeni sistem linearnih jednačina:

Rješenje se dobija na sljedeći način: